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수집한 측정 결과, 한눈에 보기 – 품질 관리를 위한 솔루션, SPC 연재기사 2탄

미국의 경영학자 피터 드러커는 이렇게 말했다. “측정할 수 없으면 관리할 수 없고, 관리할 수없으면 개선할 수 없다.” 하지만 구슬이 서 말이라도 꿰어야 보배란 말이 있듯이 측정 결과를 늘어놓기만 해서는 공정을 개선할 수 없다. 이 때 필요한 것이 꺾은선 그래프와 히스토그램 등의 시각적 요소와 공정능력지수(Cp, Cpk)다. 이번 달에는 측정한 데이터를 바탕으로 표본 분산과 표준 편차, 그리고 정규분포에서의 공정능력지수를 구해보도록 하자.

측정치3월호 매뉴팩처링에 게재된 SPC 연재기사를 읽은 A씨. 최근 거래처에게서 제품의 품질에 대해 싫은 소리를 들은 탓에 그는 기사 내용이 마냥 남일 같지가 않았다. A씨는 궁금해졌다. “지금 우리 공장은 잘 굴러가고 있는 걸까?” 하지만 공장에서 일하는 어느 누구도 그에게 답을 주지 못했다. A씨는 공정능력지수를 직접 구해보기로 했다. 측정 대상은 공장에서 생산 중인 금속판의 표면 경도(50.0±2.5kg/cm²)다.

하지만 난관 하나가 그의 앞을 가로막았다. 공장에서 생산하는 수천 개의 금속판을 모두 측정하는 것은 일손이 부족한 A씨에게 쉬운 일이 아니었던 것이다. 측정하고자 하는 대상 전체(모집단)의 수가 적다면 전수 조사를 하면 그만이다. 안전과 직결되어 약간의 불량도 허용되지 않는 제품이나 소량 생산되는 대형 부품이 이에 해당된다.

모집단의 수가 많아 전수조사가 불가능한 경우 모집단을 대표할 수 있는 표본을 선정해 표본 조사를 실시한다. 표본집단의 수는 가급적 50개를 넘는 것이 좋다. A씨는 100 개의 금속판을 임의로 골라내 그 경도를 측정했다. 측정 결과는 위 표와 같다. 하지만 표를 놓고도 A씨는 고개를 갸웃거릴 수밖에 없었다. 데이터만 가지고는 공정능력을 한눈에 파악할 수 없기 때문이다.
그래프이때 필요한 것이 히스토그램과 공정능력 지수다. 측정치를 몇 개의 구간으로 나눈뒤 각 구간에 속한 도수를 막대 모양으로 그린 것이 히스토그램이다. 히스토그램을 통해 공정 평균의 위치와 공정의 좋고 나쁨을 알 수 있다.

공정 데이터의 종류
A씨는 금속판의 경도를 하나하나 측정해 입력하는 방식으로 데이터를 수집했다. Q-DAS나 Minitab, ZEISS 등에서 제공하는 통계 소프트웨어를 이용하면 클릭 몇 번으로 데이터를 관리할 수 있지만 이번에는 계산기(혹은 엑셀)만으로 공정능력지수를 구해보도록 하자. 공정 데이터는 크게 계량치와 계수치로 나눌 수 있다. 계량치는 계량기로 측정이 가능한 연속적인 값을 가리킨다. 길이, 무게, 온도, 두께 등이 해당되며 필요에 따라 데이터를 더 작은 단위로 나눌 수 있다. 계수치는 제품 표면에 난 스크래치나 제품의 색깔처럼 계량기로 측정하기 힘든 데이터다. 그렇 다면 계수치는 어떤 방법으로 수집할까. 이때 필요한 것이 GO-NO 게이지다. GO-NO 게이지는 측정 항목의 합격-불합격을 판단 하는 측정 방법이다.

표분산과 표준편차
과녁을 향해 화살을 쏜다고 가정하자. 솜씨 좋은 궁수라면 대부분의 화살이 과녁 중심점 근처에 몰려있을 것이다. 반대로 오늘 활을 처음 잡아본 사람이라면 과녁을 맞추는 것이 신기한 일일지도 모른다. 공정 역시 마찬가지다. 좋은 공정에서 측정한 데이터는 평균치를 중심으로 조밀하게 몰리기 마련이다. 여기서 데이터가 퍼진 정도를 분산이라고 한다.

분산을 구하기 위해서는 데이터의 평균을 알아야 한다. 평균은 모든 수치의 합을 구한 뒤 n으로 나눠주면 된다. 따라서 A씨가 측정한 100개 데이터의 평균은 50.137이다.

표본집단의 분산을 구하기 위해서는 각 측정치와 앞서 구한 평균 간의 차이를 제곱한 뒤 모두 더한다. 그리고 그 값을 n-1로 나눠 준다. 공식은 위와 같다.
[그림4] 분산 공식계산 결과 분산이 0.909223이라는 사실을알 수 있었다. 표준편차를 구하기 위해서는 앞서 구한 표본 분산 값에 루트를 씌워주면 된다. 이는 데이터의 양이 많아질수록 분산 값이 크게 나타나기 때문이다.
[그림5] 표준편차 공식계산 결과 표준편차는 0.953532로 나타났다. A씨는 100개의 측정값과 평균 간 차이의 제곱을 일일이 구한 뒤 모두 더하느라 그만 진이 빠지고 말았다. A씨를 빤히 바라 보던 관리팀 직원의 한 마디. “엑셀 쓰지 그러셨어요.” 엑셀2010을 기준으로 VAR.S와 STDEV.S 함수를 사용하면 표본집단에 대한 분산과 표준편차를 조금 더 쉽게 구할 수 있다.

정규분포와 확률
시그마(σ), 낯설지 않지만 딱 잘라 설명하기는 힘들다. 사실 시그마는 앞서 구한 표준편차 s의 다른 모습이다. 통계에서는 모집단의 추정치를 사용하는데 모집단의 표준편차가 곧 시그마인 것이다. 표본집단에서 평균을 가리키던 엑스바(χ) 역시 모집단에서는 뮤(µ)라고 불린다.

정규분포에서 공정산포는 표준편차(σ)에 6을 곱한 값이다. 이는 히스토그램 전체 면적을 1로 놓았을 때 99.73%만큼 차지한다. 즉 하나의 제품을 무작위로 선정했을 때 그 제품이 양품일 확률이 99.73%, 불량품일 확률이 0.27%라는 의미다. 이는 상당히 이상적인 공정이다.

이제 공정능력지수 Cp를 구하는 일만 남았다. 공정능력지수를 구하는 공식은 아래와 같다. 우선 규격 상한(USL)에서 규격 하한 (LSL)을 뺀다. 그리고 그 값을 표준편차에 6을 곱한 값으로 나눠주면 된다. 금속판 가공 공정의 규격 상한은 52.5kg/cm², 규격 하한은 47.5kg/cm²다. 결과는 0.87이다. A씨의 금속판 가공 공정은 개선이 필요한 것으로 나타났다.

[그림6] 3p 우측 상단우수Cp와 Cpk
지금까지 정규분포에서 표준편차와 공정산포, 공정능력지수를 구하는 법에 대해 알아 보았다. 이제 측정 데이터만 주어지면 Cp구하는 것은 일도 아니다. 하지만 빛과 함께 어둠이 있듯 ‘정규’가 있으면 ‘비정규’ 역시 존재하기 마련이다. 1999년 미국 포드사는‘단 2%의 공정만 정규분포를 따른다’는 연구 결과를 발표했다.
공식숏텀 측정에서 공정은 정규분포를 따르지만, 시간이 지나면서 5M1E(Man, Machine, Material, Method, Environment)의 영향을 받아 산포가 커지고 위치가 바뀐다.

공정 분포의 위치 이동을 반영하는 것이 Cpk다. Cpk는 평균(µ)을 기준으로 Upper 능력지수와 Minimum 능력지수를 각각 구한뒤 둘 중 더 작은 값을 취한다. 따라서 공정 분포가 USL과 LSL 사이 한가운데에 위치할 경우 Cp와 Cpk가 동일하게 나타나지만, 한쪽으로 치우치면 서로 다르게 나타난다.

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